相逢在宇宙 0080
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GAMES101 学习笔记02：线性代数回顾 ​

向量（Vectors） ​

a→=AB→=B−A

向量单位化（Vector Normalization） ​

向量的模（长度）：

‖a→‖

单位向量（长度为1，表示方向）：

i=a^=a→‖a→‖

笛卡尔坐标（Cartesian Coordinates） ​

A=(xy)AT=(x,y)||A||=x2+y2

向量求和（Vector Addition） ​

向量乘法 ​

  • 点乘（Dot product）
  • 叉乘（Cross product）

点乘（Dot (scalar) product） ​

a→⋅b→=‖a→‖‖b→‖cosθ

对单位向量：

cosθ=a^⋅b^

运算性质：

a→⋅b→=b→⋅a→a→⋅(b→+c→)=a→⋅b→+a→⋅c→(ka→)⋅b→=a→⋅(kb→)=k(a→⋅b→)

笛卡尔坐标系下 2D 与 3D 向量的点乘：

  • in 2D
a→⋅b→=(xaya)⋅(xbyb)=xaxb+yayb
  • in 3D
a→⋅b→=(xayaza)⋅(xbybzb)=xaxb+yayb+zazb
点乘在图形学中的应用： ​
  • 找到两个向量之间的角度（例如光源和表面之间的角度的余弦）
  • 找到一个向量在另一个向量上的投影
点乘计算投影 ​

  • b→⊥是b→在a→上的投影
    • b→⊥一定沿着a→的方向
      • b→⊥=ka^
    • 计算k
      • k=‖b→⊥‖=‖b→‖cosθ

投影的意义：

  • 测量两个向量方向的接近程度（夹角）
  • 分解向量（得到两个垂直的向量）
  • 确定两个向量「前」或者「后」（方向基本一致 or 方向基本相反）

叉乘（Cross (vector) product） ​

  • 叉乘与两个初始向量正交
  • 方向由右手定则确定
  • 有助于构建坐标系

运算性质：

x→×y→=+z→y→×x→=−z→y→×z→=+x→z→×y→=−x→z→×x→=+y→x→×z→=−y→a→×b→=−b→×a→a→×a→=0a→×(b→+c→)=a→×b→+a→×c→a→×(kb→)=k(a→×b→)

笛卡尔坐标系下向量的叉乘：

a→×b→=(yazb−ybzazaxb−xazbxayb−yaxb)a→×b→=A∗b=(0−zayaza0−xa−yaxa0)(xbybzb)
叉乘在图形学中的应用 ​
  • 确定左右（正左负右）
  • 确定内外（光栅化中的片段着色）

正交基和坐标框架 ​

‖u→‖=‖v→‖=‖w→‖u→⋅v→=v→⋅w→=w→⋅u→w→=u→×v→

(right−handed)

p→=(p→⋅u→)u→+(p→⋅v→)v→+(p→⋅w→)w→

(p→⋅u→)是投影

矩阵（Matrices） ​

(011117)

矩阵乘法 ​

A×B=(011117)(21110817)=(08172928257850)

运算性质：

  • 通常情况下AB≠BA
  • (AB)C=A(BC)
  • (A+B)C=AC+BC
  • ABT=BTAT
  • AA−1=A−1A=I
  • AB−1=B−1A−1

向量点乘与叉乘的矩阵式形式 ​

a→⋅b→=aT⋅b=(xayaza)(xbybzb)=xaxb+yayb+zazba→×b→=A∗b=(0−zayaza0−xa−yaxa0)(xbybzb)